Institut für Theoretische Physik

Institut für Theoretische Physik Arbeitsgruppe Halbleiterphysik

Der Forschungsbetrieb ist weltweit durch ein hohes Maß von Spezialisierung der einzelnen Akteure, durch inflationäres Publizieren unter starkem Konkurrenzdruck und durch immer kürzere Erinnerungszeiten gekennzeichnet: was älter als zehn Jahre ist, darf getrost als mittlerweile unbekannt ignoriert und neu „entdeckt“ werden. Das Zauberwort „Innovation“ verlangt von Wissenschaft wie Wirtschaft die Abkehr von Altem und den Kult des Neuen; es fördert die Ausbildung von Moden wie in der Popkultur oder der Bekleidungsindustrie. Echter Fortschritt, den es natürlich gibt, wird überlagert von einem Wettbewerb mit großen Worten um Anerkennung und Forschungsgelder.

Es scheint, dass vor allem junge Menschen, die ihren Platz im System (eine „Dauerstelle“) erst noch finden müssen, sich diesem Spiel nicht entziehen können. Insofern ist Kritik daran ihren Karrieren nicht förderlich. Andererseits stärkt es das Selbstbewusstsein eines Forschers, wenn seine Arbeit zum Schaffen der großen (alten) Meister in erkennbarer Beziehung steht. Es ist ja nicht so, dass deren Werke ein für allemal abgeschlossen wären, im Gegenteil: sie brachten neue Ideen in die Welt und demonstrierten deren Stärke an „einfachen“ Problemen, während sie sich an schwierigeren Fragen oft die Zähne ausbissen. Sie ließen uns Vieles zu tun übrig, was erst die Entwicklung weiterer neuer Methoden oder Hilfsmittel erforderte.

Das starke Hilfsmittel unserer Zeit ist die moderne Elektronik, die Rechnen, grafisches Darstellen und Kommunizieren in einem Grad von Komplexität und mit Geschwindigkeiten ermöglicht, wie sie vor wenigen Jahrzehnten noch unvorstellbar waren. So werden Strukturen und dynamische Abläufe der Forschung zugänglich und in der Lehre vermittelbar, die früher allenfalls von Wenigen erahnt, noch seltener verstanden werden konnten. Als Chiffre dafür mögen die „Julia-Mengen“ gelten: zwar bereits 1915 durch Gaston Julia definiert und abstrakt beschrieben, doch bis etwa 1980 nur einer kleinen Gruppe eingeweihter Mathematiker bekannt; erst die Computergrafiken, die ab 1984 das Computerlabor des Bremer Instituts für Dynamische Systeme verließen, verbreiteten Faszination und Verständnis über die ganze Welt (The Beauty of Fractals, Springer, Heidelberg 1986).

Dabei liegt die Faszination nicht in der Schönheit der Bilder allein, sondern in der Kombination von mathematischer Durchdringung und einer Anschaulichkeit, die unmittelbar intuitiv erfassbar ist. In diesem Sinne nimmt sich die Arbeitsgruppe „Nichtlineare Dynamik“ Probleme vor, die als solche nicht neu sind, deren Verständnis aber durch Computereinsatz vertieft und erweitert werden kann. Generalthema ist das Spannungsfeld von regulärer und chaotischer Dynamik, vor allem in der klassischen, gelegentlich aber auch in der Quanten-Mechanik.

Entgegen einer verbreiteten Meinung ist „Chaos“ kein neues Thema, auch wenn dieses Wort zur Bezeichnung langfristig nicht vorhersagbaren Verhaltens in rein deterministischen Systemen erst 1975 eingeführt wurde. Bereits Newton hat damit gekämpft, als er die Bewegung des Mondes verstehen wollte. Poincaré hat die prinzipiellen Schwierigkeiten klar erkannt, als er 1890 die „Neuen Methoden der Himmelsmechanik“ entwickelte, um das sog. „Dreikörperproblem“ zu verstehen. Aber trotz vieler Studium im Laufe des 20. Jahrhunders sind dessen Eigenschaften selbst heute noch nur unvollständig ausgelotet. Die Entdeckung extrasolarer Planetensysteme in den vergangenen zehn Jahren hat das Thema neu belebt, daher ist es auch bei uns Gegenstand der Forschung; einen überblick gibt der Artikel Richter, Chaos in Cosmos, Rev. Mod. Astron. 14 (2001) 53-92.

Wegen der formalen Gleichheit von Gravitations- und Coulombkraft haben die Probleme der Himmelsmechanik ihr Gegenstück in der Atom- und Molekülphysik, nur dass dort natürlich die Quantenmechanik den theoretischen Rahmen abgibt. Ein Beispiel, das uns längere Zeit beschäftigt hat, ist das von Euler formulierte und von Jacobi im Prinzip gelöste „Zwei-Zentren-Problem“, das Pauli in seiner Dissertation zur Beschreibung des H2+-Moleküls quantisierte. Da es sich um ein integrables Problem handelt, also um reguläre Dynamik (wenn auch mit recht komplexem Bifurkationsverhalten), liegt der Schlüssel zu seiner Lösung in der Berechnung und Diskretisierung der „Wirkungen“. Dies wurde abschließend erst mit der Arbeit Waalkens, Dullin, Richter, The problem of two fixed centers: bifurcations, actions, monodromy, Physica D 196 (2004) 265-310, erreicht.

Bei diesem wie auch bei anderen integrablen Problemen stößt man immer wieder auf elliptische und hyperelliptische Integrale sowie auf die entsprechenden Funktionen, die sich durch Umkehrung der Integrale ergeben. Deren Theorie wurde zwar durch Legendre, Abel, Jacobi, Weierstraß und Riemann zu einem wunderschönen Gebäude ausgestaltet, doch hat sie sich dabei nach unserem Eindruck von ihren Wurzeln in der Physik so weit entfernt, dass wir eine Darstellung für wünschenswert halten, in der die Anwendbarkeit im Mittelpunkt steht. Die Arbeit daran ist eines der gegenwärtig laufenden Projekte.

Das umfangreichste Projekt, das Anfang der neunziger Jahre begonnen und längst noch nicht abgeschlossen ist, trägt den Titel „Dynamik starrer Körper“ oder auch „Kreiseldynamik“. Historisch ist es mit den Namen Euler, Lagrange und Kovalevskaya verbunden, die in der Fülle der Systeme, deren Verhalten man verstehen möchte, genau die integrablen, also regulären Fälle identifizierten. Klein und Sommerfeld haben zwischen 1894 und 1910 die bis dahin erzielten Ergebnisse zusammengetragen, wobei sie allerdings dem besonders interessanten, aber auch komplizierten Spezialfall von S. Kovalevskaya (1889) nur geringe Aufmerksamkeit schenkten. Bis heute ist das klassische Problem der Bewegung eines ausgedehnten Körpers ohne innere Freiheitsgrade nur zu einem kleinen Teil gelöst, selbst wenn ein Punkt des Körpers durch eine geeignete Vorrichtung (z.B. eine kardanische Aufhängung) festgehalten wird.

Man hat es mit drei Rotationsfreiheitsgraden zu tun und sechs essentiellen Parametern, d.h. solchen, die nicht durch Skalierung von Raum, Zeit und Energie eliminiert werden können:

 

  • 2 Parameter für die Massenverteilung des Körpers (Trägheitsmomente)
  • 2 Parameter für die Lage des Schwerpunkts im Körper (relativ zu seinen Hauptachsen)
  • 2 Parameter zur Charakterisierung der Aufhängung: ihre Orientierung im Raum und ihr Trägheitsmoment

Die Fälle von Euler, Lagrange und Kovalevskaya repräsentieren in diesem 6-dimensionalen Parameterraum nur spezielle 2- bzw. 1-dimensionale Untermengen. In allen anderen Fällen, d.h. im Normalfall, ist die Dynamik des starren Körpers nicht-integrabel, also \emph{chaotisch}. Eine übersicht zum gegenwärtigen Stand der Problematik findet sich in Richter, Regular and chaotic rigid body dynamics, Nonl. Phen. in Complex Systems 4:3 (2006).

Unser erster Beitrag zu diesem Thema war 1990 der unveröffentlichte Aufsatz Richter, Die Theorie des Kreisels in Bildern. In Zusammenarbeit mit Kollegen vor allem aus Russland und der Ukraine entstand eine Reihe weiterer Arbeiten zunächst zum Kovalevskaya-Fall, der noch immer Gegenstand aktueller Forschung ist. In letzter Zeit wächst aber auch das Interesse an einem systematischen Studium der allgemeineren nicht-integrablen Fälle.

Die beteiligten Mitarbeiter orientieren sich je nach Veranlagung und Interesse im Raum, der aus folgenden Gegensatzpaaren aufgespannt wird:

 

  1. Integrable vs. nicht-integrable Dynamik. Noch sind nicht alle Probleme der integrablen Fälle gelöst. Der Kovalevskaya-Kreisel hat in den letzten Jahren sogar eine Renaissance in der Mathematischen Physik erlebt, zu der ein computer-generierter Film beigetragen hat, der 1997 in unserer Arbeitsgruppe entstand: Richter, Dullin, Wittek, The Kovalevskaya Top, beim IWF Göttingen als Film Nr.~C 1961 im DVD-Format erhältlich. Zwar hat man es bei den integrablen Fällen mit „schönerer“ Mathematik zu tun, doch gibt es bei den chaotischen Kreiseln ungleich mehr zu entdecken und zu ordnen.
  2. „Mathematische“ vs. „physikalische“ Körper; damit ist der Unterschied von solchen mit und ohne Aufhängung gemeint. In der Mathematik hat man bisher fast ausschließlich die Körper ohne Rahmen betrachtet, d.h. den Konfigurationsraum SO(3). Physikalisch aber braucht man im Schwerefeld eine Aufhängung; der Konfigurationsraum ist dann ein 3-Torus. Bislang ist nur andeutungsweise klar, welch weitreichende Konsequenzen das hat.
  3. Analytische vs. numerische Studien, wobei mit Ersterem die Methoden der klassischen Analysis gemeint sind, aber auch algebraisch-geometrische (Dullin, Richter, Veselov, Action variables of the Kovalevskaya top, Regular and Chaotic Dynamics 3:3 (1998) 18-31) und topologische (Bolsinov, Richter, Fomenko, The method of loop molecules and the topology of the Kovalevskaya top, Matem. Sbornik 191:2 (2000) 3-42). Es geht darum, möglichst viel über die Struktur der Phasenraum-Flüsse und ihrer Invarianten zu verstehen. Die analytischen Methoden wurden vor allem für integrable Dynamik entwickelt; bei chaotischem Verhalten ist der Einsatz von Computern und graphischer Darstellung unentbehrlich (Gashenenko, Richter, Enveloping surfaces and admissible velocities of heavy rigid bodies, Int. J. Bifurcation and Chaos 14:8 (2004) 2525-2553).
  4. Klassisch vs. quantenmechanisch. Jedes Atom oder Molekül ist hinsichtlich seiner Rotationsfreiheitsgrade ein Kreisel; an die Stelle der Schwerkraft in der klassischen Mechanik können z.B. elektrische Kräfte treten. Insofern ist die Quantisierung der Dynamik von Interesse. Eine Aufgabe, für deren Lösung in den letzten Jahren alle Hilfsmittel entwickelt wurden, die aber erst noch in Angriff genommen werden will, ist die semiklassische Berechnung des Spektrums für Lagrange- und Kovalevskaya-Kreisel. Für chaotische Kreisel dürfte wohl nur die numerische Lösung der Schrödinger-Gleichung in Frage kommen.
  5. Konservativ vs. dissipativ. In der klassischen wie auch in der Quantenmechanik diskutiert man gewöhnlich nur konservative (d.h. energieerhaltende) Idealisierungen der physikalischen Systeme. Reale Systeme aber sind mehr oder weniger dissipativ, d.h., sie verlieren im Laufe der Zeit Energie -- durch Reibung oder andere Verlustmechanismen. Die Dynamik gleitet daher im Phasenraum durch Hyperflächen konstanter Energie hindurch. Lassen sich dabei allgemeine Szenarien identifizieren, wie z.B. das der adiabatischen Invarianz von Wirkungen? Was ist, wenn die Dynamik chaotisch ist und Wirkungen daher nicht definiert sind?